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O que existe além dos números reais?

Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em 1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ + px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram aceitas pelos matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte equação:

x³ – 6x + 4 = 0

Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema

(u – v)³ – 6(u – v) + 4 = 0

uv = -2

u³ – 3u²v + 3uv² – v³ – 6u + 6v + 4 = 0

uv = -2

Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda , obtém-se:

u³ – v³ + 4 = 0

v = -2/u

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Chamando u³ = t temos:

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Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que não existem u nem v e, conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém, espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação

x³ – 6x + 4 = 0, pois 2³ – 6.2 + 4 = 0.

Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos números, como por exemplo:

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Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli ( cerca de

1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade:

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Dando assim subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos.

Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo, da equação x² + 1 = 0

x² + 1 = 0

x² = -1

S = {  }

Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação passará a ter solução não-vazia.

No conjunto dos números complexos,convenciona-se que:

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Exemplo:

Vamos resolver a equação x² – 2x + 5 = 0.

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Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que:

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A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.

Tomando um número complexo z = a + bi, temos:

a = 0   z = a + bi

b ≠ 0  (imaginário puro).

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Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma

a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é também complexo.

Exemplo:

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Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0 são reais.

Exercícios:

Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro ou real:

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Determine o valor de m e n para que o complexo

z = (m² – 4) + (n³ – 27) i seja um imaginário puro.

Resolução:

z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0. Logo:

m² – 4 = 0

m² = 4

m = -2  ou m = 2

n³ – 27 ≠ 0

n³ ≠ 27

n ≠ 3

Dados os complexos a seguir, determine:

a) m e n para que z = m + (2m – n + 1)i seja imaginário puro.

Resolução:

m = 0

2m – n + 1 ≠ 0

-n ≠ -1

n ≠ 1

b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real.

Resolução:

2b + 7 = 0                                   qualquer a є R

2b = -7

b = – 7/2

c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0.

Resolução:

2x + 4 = 0                                       y – 3 = 0

2x = -4                                            y = 3

x = -4/2 = -2

Resolva as equações a seguir para U = C:

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Igualdade e operações

Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, dizemos que eles são iguais quando a parte real de z1 for igual a de z2, o mesmo ocorrendo com as partes imaginárias:

a1 + b1i = a2 + b2i ↔  a1 = a2 e b1 = b2

Exemplo:

Considere os complexos z1 = (a + 1) + 3i e z2 = 4 + (2 – b) i. Teremos z1 = z2 se ocorrer:

(a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i

a + 1 = 4

a = 3

2 – b = 3

b = -1

Adição e subtração

Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z1 = a1 + b1i e

z2 = a2 + b2i somando ou subtraindo as partes reais, a1 e a2  e as partes imaginárias b1 e b2:

(a1 + b1i) + (a2+ b2i) = (a1+ a2) + (b1+ b2) i

(a1 + b1i) – (a2 + b2i) = (a1 – a2 ) + (b1 – b2) i

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Dados os complexos z1 = 2 – 3i e z2 = z2 = 4 + 6i, temos:

  1. a)    z1 + z2 = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i
  2. b)    z1 – z2 =  2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i

c)z2 – z1 = 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i

d)2z1= z1 +  z1 = 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i

e)2z2 = z2 + z2 = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i

Efetue as operações indicadas:

a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i

b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i

Multiplicação

Na multiplicação dos complexos   z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo

i² = -1. Assim:

z1 = a1 + b1i

z2 = a2 + b2i

z1 . z2 = (a1 + b1i).( a2 + b2i)

z1 . z2 = a1a2 + a1b2i + a2 b1i + b1 b2i²

Como i² = -1, temos:

(a1 + b1i).( a2 + b2i) = (a1a2 – b1 b2) + (a1b2 + a2 b1) i

Exemplos:

Vamos multiplicar z1 = 3 + 2i por z2 = 3 + 4i

z1 . z2 = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) =

9 + 18i – 8 = 1 + 18i

Se z1 = 4 e z2 = 2 –  5i, temos:

z1 . z2 = 4(2 – 5i) = 8 – 20i

Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos seja um número real:

z1 = 2 + i

z2 = 2 – i

z1 . z2 = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5

Dados z1 = 1 – 3i e z2 = 2 + i, calcule:

a)  z1 . z2

z1 . z2 = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i

b) 2z1 – 3z2

2z1 – 3z2  = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = – 4 – 9i

c)  z1²

(1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = – 8 – 6i

d)  z2²

(2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i

e) (z1 + z2)( z1 – z2)

(1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] =

= (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] =

= -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i

Dados os complexos  z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para que 2z1 – z2  seja um imaginário puro.

Resolução:

z1 = a + 2i

z2 = 3 – bi

2z1 – z2 = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi =

= (2a – 3) + (4 + b)i

Para  2z1 – z2  seja um imaginário puro devemos impor:

2a – 3 = 0

2a = 3

a = 3/2

4 + b ≠ 0

b ≠ – 4

Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)².

Resolução:

z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48

Determine o valor real de x para que o número complexo:

z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.

Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0,

Pois Im(z) = 3 ≠ 0

Então:

1 – 2x = 0

-2x = -1

x = 1/2

verificando, vem:

z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro)

logo, x = 1/2

z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro.

8 – x = 0

x = 8

para x = 8, temos:

(2.8 – 3) = 13 ≠ 0

Logo, x = 8

Conjugado de um complexo

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Vamos obter os conjugados dos seguintes números:

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Divisão

Dados os complexos z1 e  z2   com z2  ≠ 0, podemos fazer

z1 /z2    multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador.

Considere z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i.

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Exemplos:

Vamos efetuar a divisão de z1 = 2 + 4i   por   z2 = 5 – i ;

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Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu inverso:

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Escreva os conjugados dos seguintes complexos:

z = -3i + 1

conjugado: 1 + 3i

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Efetue as divisões:

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Simplifique a expressão:

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Determine o número complexo z tal que:

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(a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i

a  +  bi – a + bi + a² – abi + abi – bi² = 8 + 4i

2bi + a² + b² = 8 + 4i

2b = 4

b = 2

a² + b² = 8

a² + 4 = 8

a² = 4

Logo, z = 2 + 2i  ou  z = -2 + 2i

Potências de i

Estudando as potências de i

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Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão. Veja:

9 : 4 =

Quociente = 2

Resto = 1

i¹ = i

82 : 4 =

Quociente = 20

Resto = 2

i² = -1

123 : 4 =

Quociente = 30

Resto = 3

i³ = -i



  1. It‘s quite in here! Why not leave a response?