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A função f:R→R dada por f(x) = ax² + bx + c , com a,b e c reais e a ≠ 0, denomina-se função do 2º grau ou função quadrática.

Exemplos:

f(x) = x² – 4x – 3    ( a = 1, b = -4, c = -3)

f(x) = x² – 9      ( a = 1, b = 0, c = -9)

f(x) = 4x² + 2x – 3  ( a = 4, b = 2, c = -3)

f(x) = 6x²   ( a = 6, b = 0, c = 0)

f(x) = -2x² + 5x + 1 ( a = -2 , b = 5 , c = 1)

f(x) = -4x² + 2x  ( a = -4 , b = 2 , c = 0)

1) Dada a função f(x) = x² – 5x + 6, calcule:

a)f(1) = 1² – 5.1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2

b)f(-1) = (-1)² – 5.(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12

c)f(2) = 2² – 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

f23.jpg

e)f(0) = 0² – 5.0 + 6 = 6

f)f(3) = 3² -5.3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0

2) Dada a função f(x) = 4x² – 1, calcule:

a)f(2) = 4.2² – 1 = 16 – 1 = 15

b)f(-1) = 4.(-1)² – 1 = 4 – 1 = 3

aa22.jpg

aaf.jpg

aa3.jpg

3) Dada a função f(x) = x² – 4x – 5, determine os valores de x para que se tenha:

a)f(x) = 7

x² – 4x – 5 = 7

x² – 4x – 5 – 7 = 0

x² – 4x – 12 = 0

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4) Dada a função f(x) = 2x² – 3x + 1, calcule:

a)f(-x) = ?

f(-x) = 2.(-x)² -3.(-x) + 1 = 2x² + 3x + 1

b)f(x + 1) = ?

f(x + 1) = 2.(x + 1)² – 3.(x + 1) + 1

=2.(x² + 2x + 1) – 3x – 3 + 1 = 2x² + x

c) a, para que f(a – 1) = 0

0 = 2.(a – 1)² – 3.(a – 1) + 1

0 = 2.(a² – 2a + 1) – 3a + 3 + 1

0 = 2a² -4a + 2 -3a +3 + 1

2a² – 7a + 6 = 0

aa21.jpg

5) Dada as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² – 1 determine os valores reais de x  para que se tenha g(f(x)) = 0

g(2x + 1) = (2x + 1)² – 1 = 4x² + 4x + 1 – 1 = 4x² + 4x

4x² + 4x = 0

x² + x = 0

x(x + 1) = 0

x = 0

ou

x + 1 = 0

x = -1

6) Seja f(X) = ax² + bx + c . Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = -2, calcule o produto a.b.c

f(1) = 4

a.1² + b.1 + c = 4

a + b + c = 4

f(2) = 0

a.2² + b.2 + c = 0

4a + 2b + c = 0

f(3) = -2

3².a + 3b + c = -2

9a + 3b + c = -2

a + b + c = 4

4a + 2b + c = 0

9a + 3b + c = -2

-4a – 4b – 4c = -16

4a + 2b + c  = 0

-2b -3c = -16

a + b + c = 4

9a + 3b + c = -2

-9a -9b – 9c = -36

-6b – 8c = -38

6b + 9c = 48

c = 10

-2b – 30 = -16

-2b = 30 – 16

-2b = 14

b = 14/-2 = -7

a – 7 + 10 = 4

a + 3 = 4

a = 4 – 3

a = 1

a.b.c = 1. -7.10 = -70

Construir o gráfico da função y = x² – 2x – 3

x        y = x² – 2x – 3                    (x,y)

-2       y = (-2)² – 2.(-2) – 3 = 5    (-2,5)

-1       y = (-1)² – 2.(-1) – 3 = 0    (-1,0)

0        y = 0² – 2.0 – 3 = -3           (0,-3)

1      y = 1² – 2.1 – 3 = -4            (1,-4)

2      y = 2² – 2.2 – 3 = -3            (2,-3)

3      y = 3² – 2.3 – 3 = 0              (3,0)

4      y = 4² – 2.4 – 3 =5               (4,5)

Gráfico

funcao21.jpg

Construir o gráfico da função y = 2x²

x          y = 2x²                           (x,y)

-2          y = 2.(-2)² = 8                (-2,8)

-1          y = 2.(-1)² = 2                (-1,2)

0           y = 2.0² = 0                    (0,0)

1           y = 2.1² = 2                    (1,2)

2           y = 2.2² = 8                    (2,8)

Gráfico

funcao22.jpg

Construir o gráfico da função y = -x² + 2x + 3

x      y = -x² + 2x + 3                             (x,y)

-2      y = -(-2)² + 2.(-2) + 3 = -5            (-2,-5)

-1      y = -(-1)² + 2.(-1) + 3 = 0             (-1,0)

0      y = -(0)² + 2.(0) + 3 = 3                (0,3)

1       y = -(1)² + 2.(1) + 3 = 4                 (1,4)

2       y = -(2)² + 2.(2) + 3 = 3                 (2,3)

3       y = -(3)² + 2.(3) + 3 =0                  (3,0)

4       y = -(4)² + 2.4 + 3 = -5                   (4,-5)

Gráfico

funcao23.jpg

Construir o gráfico da função y = -x² + 2x – 4

x          y = -x² +2x – 4                       (x,y)

-1          y = -(-1)² + 2.(-1) – 4 = -7     (-1,-7)

  1. 0              y = – (o)² + 2.0 – 4 = -4          (0,-4)

1           y = -(1)² + 2.1 – 4 = -3           (1,-3)

2           y = -(2)² + 2.2 – 4 = -4           (2,-4)

3           y = – (3)² + 2.3 – 4 = -7          (3,-7)

Gráfico

funcao24.jpg

O gráfico de uma função do 2º grau ou quadrática é uma curva aberta chamada parábola.

Nos exemplos dados podemos observar que:

No 1º exemplo dado, f(x) = x² – 2x – 3,temos a = 1 > 0

No 2º exemplo dado, f(x) = 2x², temos a = 2 > 0

Em ambos, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

No 3º exemplo dado, f(x) = -x² + 2x + 3, temos a = -1 < 0

No 4º exemplo dado, f(x) = -x² +2x – 4, temos a = -1 < 0

Em ambos, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Se  a > 0, a concavidade é voltada para cima

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Se a <  0, a concavidade é voltada para baixo

concavidadebaixo.jpg

Zeros de uma função quadrática

Os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do domínio para os quais f(x) = 0.

Assim, os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax² + bx + c são as raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0.

Por exemplo, para determinar as raízes da função f(x) = x² -7x + 6, fazemos:

f(x) = 0 → x² – 7x + 6 = 0

equação do 2º grau

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Então os números 1 e 6 são os zeros da função f(x) = x² – 7x + 6.

Você notou que, para determinar as raízes ou zeros da função quadrática tivemos que resolver uma equação do 2º grau. Vale a pena relembrar algo a respeito das raízes dessa equação. (vá no meu site de equação do 2º grau que é o quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau)

Para determinar os zeros ou raízes de uma função f(x) = ax² +bx + c, temos que analisar a equação ax² + bx + c = 0.

Se  Δ > 0, a função possui dois zeros reais distintos.

Se  Δ = 0, a função possui um zero real duplo.

Se  Δ < 0, a função não possui zeros reais.

Interpretação geométrica das raízes

Os zeros ou raízes de uma função são os valores de x tais que f(x) = 0. No plano cartesiano, são os pontos do gráfico da função que possuem ordenada nula.

Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2º grau são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x.

  1. 1)    Determinar os zeros da função f(x) = x² – 2x – 3.

Devemos resolver a equação do 2º grau x² – 2x – 3 = 0.

Δ = (-2)² – 4.1.(-3) = 16 > 0  ( a  função possui dois zeros reais diferentes)

 

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Como a função possui dois zeros reais diferentes, a parábola   intercepta o eixo x em dois pontos distintos: (-1,0) e (3,0).

Esboço do gráfico:

esboo1.jpg

1) Determinar os zeros da função f(x) = -x² + 2x – 1.

  1. f(x) = o → -x² +2x – 1 = 0

Δ = 2² – 4.(-1).(-1) = 4 – 4 = 0 ( a função possui um zero real duplo)

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Como a função possui um zero real duplo, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto: (1,0)

Gráfico

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1) Interpretar geometricamente os zeros da função

f(x)= x² – 2x + 4

  1. f(x) =  0→ x² – 2x + 4 = 0

Δ = -12 < 0→ a função não possui zeros reais

Como a função não possui zeros reais, a parábola não corta o eixo x.

Gráfico

aa9.jpg

Vértice da parábola

aa11.jpg

Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0

Construa o gráfico da função y = x² – 4x + 3

a = 1 > 0 → concavidade voltada para cima

zeros da função

x² – 4x + 3 = 0

Δ = (-4)² – 4.1.3  = 16 – 12 = 4

aa12.jpg

aa13.jpg

Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0, então vem:

y = x² – 4x + 3

y = 0² -4.0 + 3 = 3     P(0,3)

vértice da parábola

aa14.jpg

Gráfico

aa15.jpg

Esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = x² – 3x + 2.

x² – 3x + 2 = 0

a = 1             Δ = (-3)² – 4.1.2 = 9 – 8 = 1

b = -3

c = 2

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Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0

y = 0² – 3.0 + 2 = 2    P(0,2)

Gráfico

aa17.jpg

Encontre a condição para o parâmetro m, de modo que cada uma das seguintes funções seja quadrática:

a) y = (m – 1)x² – 6x + 3

m – 1 ≠ o

m ≠ 1

b) y = (4m – 16)x² + 2x – 1

4m – 16 ≠ 0

4m ≠ 16

m ≠ 16/4 = 4

Determine o valor de a e b na função quadrática

y = x² – ax + b, sendo suas raízes iguais a 1 e 2.

0 = 1² – a.1 + b

0 = 1 – a + b

0 = 2² – a.2 + b

0 = 4 -2a + b

0 = -3 + a

a = 3

0 = 1 – 3 + b

b – 2 = 0

b = 2

Determine o valor de p e q na função quadrática

y = px² + qx + 12, sendo suas raízes iguais a -4 e 3.

0 = p.(-4)² + q.(-4) + 12

0 = 16p – 4q + 12

0 = p.3² + q.3 + 12

0= 9p + 3q + 12

0 = 48p – 12q + 36

0 =36p + 12q + 48

0 = 84p + 84

84p = -84

P = -84/84 = -1

0 = -9 +3q +12

0 = 3q + 3

3q = -3

q = -3/3 = -1

Encontre as coordenadas do vértice para cada função quadrática:

a)  y = x² – 4x + 3

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Δ = (-4)² – 4.1.3 = 16 – 12 = 4

b) y = -x² – 10x + 11

Δ = (-10)² – 4.(-1).11 = 100 + 44 = 144

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  1. denis (Reply) on segunda-feira 30, 2011

    professor to com dificuldade neste exercicio se Se (x2 – 3x – 10) (-x2 + 7x – 6) < 0, então x é

    vc poderia me ajudar ?

  2. plus (Reply) on segunda-feira 30, 2011

    amei esse sitee

  3. plus (Reply) on segunda-feira 30, 2011

    Satisfez todas as mihas dúvidas. Muito obrigada

    • Profº Joaquim Sigaud (Reply) on segunda-feira 30, 2011

      obrigado